** En lien avec les SES

Partie 1 - Étude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction  \(g\) définie sur l’intervalle \([1 \ ; \ 15]\)  par \(g (x) = −0,6x + 4 + \text{e}^{−x+5}\) .
1. a. Calculer  \(g'(x)\) pour tout réel  \(x\) de l’intervalle  \([1 \ ; \ 15]\) .
    b. En déduire que la fonction  \(g\) est décroissante sur l’intervalle  \([1 \ ; \ 15]\) .
2. a. Dresser le tableau de variations de la fonction  \(g\) sur l’intervalle \([1 \ ; \ 15]\) .
    b. Démontrer que l'équation \(g (x) = 0\) admet une unique solution  \(\alpha\) sur  \([1 \ ; \ 15]\) .
    c. Déduire des questions précédentes le tableau de signes de  \(g(x)\) sur l’intervalle \([1 \ ; \ 15]\) .
    d. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude  \(10^{-1}\) de \(\alpha\) .

Partie 2 - Application économique

Une entreprise fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L'entreprise fabrique entre \(1\) et \(15\) tonnes de granulés par jour.
On définit par  \(f(x)\) le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d'euros, c'est-à-dire la
différence entre la recette et le coût de production, où \(x\)  désigne la quantité de granulés en tonnes produits par jour.
On admet que \(f(x) = −0,3x^2 + 4x − \text{e}^{−x+5}\) .

1. Étudier les variations de la fonction  \(f\)  sur l’intervalle  \([1 \ ; \ 15]\) .
2. a. Pour quelle quantité de granulés l'entreprise va-t-elle  obtenir un bénéfice maximal ? On donnera une valeur approchée de cette quantité  à \(0{,}1\) tonne près.
    b. Calculer alors le bénéfice maximal à l'euro près.